2.7.4. Задача Неймана
В приложениях встречается еще одна краевая задача для уравнения
Лапласа – так называемая задача Неймана.
7А+Б18 (Задача Неймана). Найти функцию
,u
удовлетворяющую
«внутри» замкнутой поверхности (или кривой)
уравнению Лапласа
0u
и на границе
условию
1
,
u
u
n
(2.145)
где
u
n
– производная по направлению внешней нормали к
, а
1
u
–
функция, заданная на
.
Отметим, что функция
1
u
на поверхности (или кривой)
не может
быть задана произвольно. Если в формуле (2.138), верной для любых
функций
u
и
,v
положить
1,v
то
0
v
n
и
0v
и формула примет вид
.
SV
u
d udv
n
Поэтому для любой функции
,u
гармонической в области
,V
ограниченной поверхностью
,
должно выполняться равенство
0.
u
d
n
(2.146)
Следовательно, граничное значение производной
u
n
на
– функция
1
u
– удовлетворяет следующему условию:
1
0.ud
(2.147)
При соблюдении условия (2.147) задача Неймана всегда имеет
решение. Вместе с любым решением
u
решением будет также
constu
.
Можно доказать, что других решений задача Неймана не имеет, т. е. что
разность двух любых решений задачи Неймана постоянна. Это означает,
что решение задачи Неймана единственно с точностью до аддитивной
постоянной.
Задача Неймана играет важную роль в теории волновых процессов, в
частности в теории электромагнетизма.
7Б19 (Метод функции Грина для задачи Неймана). Метод функции
Грина может быть применен и к решению задачи Неймана на основе
формулы (2.139). Однако функция Грина
G
для задачи Неймана должна
быть определена иначе. По-прежнему полагаем
11
1
AP
G w w w
r
для
пространства и
11
1
ln
AP
G w w w
r
для плоскости; однако на функцию
1
,w
гармоническую во всей области
V
, накладываем теперь краевое
условие
1
.
ww
K
nn
Применяя формулу (2.139), можно доказать, что если положить
4
K
S
, где
S
– площадь поверхности
в пространственном случае (или
2
K
l
, где
l
– длина кривой
в двумерном случае), то интеграл от
1
w
n
,
взятый по границе
области
V
, будет равен нулю, т. е. условие (2.146)
будет соблюдаться. Тогда
,
G
K
n
и рассуждая так же, как в п. 2.7.3, мы придем к решению задачи Неймана в
пространстве
0 0 0 1
1
,,
4
u x y z u Gd
(2.148)
и решению задачи Неймана на плоскости
0 0 1
1
,;
2
u x y u Gds
(2.149)
здесь функция
u
определяется с точностью до произвольной постоянной.
7А+Б20 (Замечание). Задачу Дирихле часто называют первой краевой
задачей для уравнения Лапласа, а задачу Неймана – второй краевой
задачей. Рассматривается еще третья краевая задача: найти функцию
,u
удовлетворяющую внутри замкнутой поверхности (или кривой)
уравнению Лапласа
0u
и на границе
условию
,
u
u
n
где
,,
– функции, заданные на
.
Очевидно, что задачи Дирихле и
Неймана являются частными случаями этой задачи.
